a) Gọi ƯCLN(3n+1;5n+2) là d

ta có: 3n+1 chia hết cho d => 15n + 5 chia hết cho d

5n + 2 chia hết cho d => 15n + 6 chia hết cho d

=> 15n + 6 - 15n - 5 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> 3n+1/5n+2 là phân số tối giản

gọi d là ƯC(3n + 1; 5n + 2)  (d thuộc Z)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x+1⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+1\right)⋮d\\3\left(5n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+5⋮d\\15n+6⋮d\end{cases}}}}\)

=> (15n + 5) - (15n + 6) ⋮ d

=> 15n + 5 - 15n - 6 ⋮ d

=> (15n - 15n) - (6 - 5) ⋮ d

=> 0 - 1 ⋮ d

=> 1 ⋮ d

=> d = 1 hoặc d = -1

vậy \(\frac{3n+1}{5n+2}\) là phân số tối giản với mọi n thuộc N

b) Gọi ƯCLN(12n+1;30n+2) là d

ta có: 12n + 1 chia hết cho d => 60n + 5 chia hết cho d

30n+2 chia hết cho d => 60n + 4 chia hết cho d

=> 60n +5 - 60n-4 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> 12n+1/30n+2 là p/s tối giản

Em chưa học làm dạng này , em làm thử thôi nhá, sai xin chỉ dạy thêm nha

2 . \(\dfrac{n^7+n^2+1}{n^8+n+1}=\dfrac{n^7-n+n^2+n+1}{n^8-n^2+n^2+n+1}\)

\(=\dfrac{n\left(n^6-1\right)+n^2+n+1}{n^2\left(n^6-1\right)+n^2+n+1}=\dfrac{n\left(n^3+1\right)\left(n^3-1\right)+n^2+n+1}{n^2\left(n^3+1\right)\left(n^3-1\right)+n^2+n+1}\)\(=\dfrac{n\left(n^3+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1}{n^2\left(n^3+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1}\)

\(=\dfrac{\left(n^2+n+1\right)\left[\left(n^4+n\right)\left(n-1\right)\right]}{\left(n^2+n+1\right)\left[\left(n^5+n^2\right)\left(n-1\right)+1\right]}\)

\(=\dfrac{n^5-n^4+n^2-n}{n^6-n^5+n^3-n^2+1}=\dfrac{n^4\left(n-1\right)+n\left(n-1\right)}{n^5\left(n-1\right)+n^2\left(n-1\right)+1}\)

\(=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n^4+n\right)}{\left(n-1\right)\left(n^5+n^2\right)+1}\)

Vậy ,với mọi số nguyên dương n thì phân thức trên sẽ không tối giản

Gọi Ư( n+1; 2 n+3 ) = d ( N* )

n +1 = 2n + 2 (1) ; 2n+3*)   (2)

Lấy (2 ) - (1) ta được : 2n + 3 - 2n + 2 = 1:d => d =1

vậy ta có đpcm 

gọi Ư ( 3n + 2 ; 5n + 3 ) = d ( N* )

3n +2 = 15 n + 10 (1)  ; 5n + 3 =15n + 9 (2)

lấy (!) - (2)  ta được  15n + 10 - 15n - 9 = 1:d => d = 1

Vậy ta có đpcm 

Gọi Ư(n+1;2n+3) = d ( \(d\in\)N*) 

\(n+1=2n+2\left(1\right);2n+3\left(2\right)\)

Lấy (2 ) - (1) ta được : \(2n+3-2n+2=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

Gọi Ư\(\left(3n+2;5n+3\right)=d\)( d \(\in\)N*)

\(3n+2=15n+10\left(1\right);5n+3=15n+9\left(2\right)\)

Lấy (!) - (2) ta được : \(15n+10-15n-9=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

a) Gọi \(d\) là UCLN \(\left(n+1,2n+3\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

b) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(2n+3,4n+8\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4n+8-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Mà 2n+3 là số lẻ nên

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

c) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

b: Vì 12n+1 là số lẻ

và 30n+2 là số chẵn

nên 12n+1/30n+2 là phân số tối giản

a) Gọi d là ƯCLN(n + 1; n + 2)

\(\Rightarrow n+1⋮d\)

\(n+2⋮d\)

\(\Rightarrow\left[\left(n+2\right)-\left(n+1\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n+2-n-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\dfrac{n+1}{n+2}\) là phân số tối giản

b) Gọi d là ƯCLN(n + 1; 3n + 4)

\(\Rightarrow n+1⋮d\) và \(3n+4⋮d\)

Do \(n+1⋮d\Rightarrow3n+3⋮d\)

\(\Rightarrow\left[\left(3n+4\right)-\left(3n+3\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(3n+4-3n-3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\dfrac{n+1}{3n+4}\) là phân số tối giản

c) Gọi d là ƯCLN(3n + 2; 5n + 3)

\(\Rightarrow3n+2⋮d\) và \(5n+3⋮d\)

Do \(3n+2⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15n+10⋮d\)   (1)

Do \(5n+3⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(5n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15n+9⋮d\)   (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left[\left(15n+10\right)-\left(15n+9\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(15n+10-15n-9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\dfrac{3n+2}{5n+3}\) là phân số tối giản

d) Gọi d là ƯCLN(12n + 1; 30n + 2)

\(\Rightarrow12n+1⋮d\) và \(30n+2⋮d\)

Do \(12n+1⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(12n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+5⋮d\)   (3)

Do \(30n+2⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+4⋮2\)   (4)

Từ (3 và (4) \(\Rightarrow\left[\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(60n+5-60n-4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản

a: Gọi d=ƯCLN(n+1;n+2)

=>n+2-n-1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

b: Gọi d=ƯCLN(3n+4;n+1)

=>3n+4-3n-3 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

c: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

d: Gọi d=ƯCLN(12n+1;30n+2)

=>60n+5-60n-4 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

c,Để phân số trên là phân số tối giản thì (3n+2;5n+3) = 1

Gọi \(d\inƯCLN\left(3n+2;5n+3\right)\)

Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(3n+2;5n+3\right)=1\)

Vậy phân số\(\dfrac{3n+2}{5n+3}\) là phân số tối giản

a,để phân số trên tối giản thì (n+1;2n+3) = 1

Gọi \(d\inƯCLN(n+1;2n+3)\) \(\left(d\in N\right)\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(n+1;2n+3\right)=1\)

Vậy phân số \(\dfrac{n+1}{2n+3}\) là một phân số tối giản

Để phân số trên tối giản thì (2n+3;4n+8) = 1

Gọi \(d\in UCLN\left(2n+3;4n+8\right)\) \((d\in N)\)

Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)\)

Mà 2n+3 là số lẻ nên \(\Rightarrow2n+3⋮̸2\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

\(\Rightarrow d\ne2\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow(2n+3;4n+8)=1\)

Vậy phân số trên là phân số tối giản